Distributivité à gauche - Corrigé

Énoncé
Soit les matrices  \(A=\begin{pmatrix} 1&5\\2&4 \end{pmatrix}\) ,  \(B=\begin{pmatrix} 0&1\\7&2 \end{pmatrix}\)  et  \(C=\begin{pmatrix} 1&1\\-1&2 \end{pmatrix}\) .

1. Justifier que l'on peut calculer  \(AB\)  et  \(AC\)  et effectuer ces produits.

2. Calculer  \(AB+AC\) .

3. Calculer  \(D=B+C\) .

4. Justifier que l'on peut calculer  \(AD\)  et effectuer ce produit.

5. Comparer  \(AD\)  avec  \(AB+AC\) .

Solution

1.  \(A\)  a deux colonnes et  \(B\)  a deux lignes, donc on peut calculer  \(AB\) .
\(AB=\begin{pmatrix} 35&11\\28&10 \end{pmatrix}\)

\(A\)  a deux colonnes et  \(C\)  a deux lignes, donc on peut calculer  \(AC\) .
\(AC=\begin{pmatrix} -4&11\\-2&10 \end{pmatrix}\)

2.  \(AB+AC=\begin{pmatrix} 31&22\\26&20 \end{pmatrix}\)

3.  \(D=B+C=\begin{pmatrix} 1&2\\6&4 \end{pmatrix}\)  

4.  \(A\)  a deux colonnes et  \(D\)  a deux lignes, donc on peut calculer  \(AD\) .
\(AD=\begin{pmatrix} 31&22\\26&20 \end{pmatrix}\)

5. On a donc  \(AD=AB+AC\) , c'est-à-dire  \(A(B+C)=AB+AC\) qui illustre la distributivité à gauche.